坛子里面隐藏多年的数学帝们，都出来解题了

juyan · 发表于 2012-7-31 11:26:38

题目：
平面内。有两个点A，B,A，B两点坐标已知，B点要绕a点旋转。现在要怎么样才能计算出点B的旋转角度。

我的解法，使用三角函数计算。这种解法只能算出180度以下的解。对于180度以上的角，那就要分情况去讨论。
有没有好的数学方法，可以计算出大于180以上的角？不用去分情况讨论。

juyan · 发表于 2012-7-31 15:44:17

我先占沙发了。不知道我表述清楚没，大家能看懂吧

monty_wm · 发表于 2012-7-31 17:48:19

数学不好的路过……

红色激情 · 发表于 2012-7-31 19:49:44

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gameghost · 发表于 2012-7-31 20:03:57

三角函数的定义已经告诉你了,必须分情况讨论.

juyan · 发表于 2012-8-3 14:21:55

分情况讨论非常麻烦，而且三角函数的特殊角比如90,0,45在计算时总会出现问题.
有没有对四元数有了解的。貌似可以通过四元数运算，一次性算出全角度。

诗诺比 · 发表于 2012-8-3 22:20:48

A,B,B'三点坐标已知, AB,AB',BB'长度已知, 弄个反三角函数就是角度了呀...

FantasyDR · 发表于 2012-8-4 00:21:44

2D的就把旋转轴定成(0,0,1)，然后设旋转角是2a，可以旋转用四元数表示出来，假设是q。

然后已知的A点是(x,y,0)，看成一个向量，用四元数表示为：A = x*i+y*j
转动后的B点是(x',y',0)，四元数表示为：B = x'*i+y'*j

因此可以列出方程：B = q * A * q的共轭
然后按照四元数的乘法，代入各个部分，z和w大部分都是0，应该就消没有了，得到一个关于cos(a)和sin(a)的方程。简写做ca和sa。

我刚刚手算了一下，好像是：
ca * (ca * x - sa * y) - sa * (ca * y + sa * x ) = x'
sa * (ca * x - sa * y) + ca * (ca * y + sa * x) = y'

因为xyx'y'都是已知的，所以只有2个未知数ca和sa，但可惜不是二元一次方程组。

接下来就各种三角函数变来变去吧……能求出a是多少么？我三角函数太烂，就不算了……

四元数的表示还有四元数乘法的定义是指这里找的：
http://caterpillar.onlyfun.net/G ... aternionsRotate.htm

FantasyDR · 发表于 2012-8-4 11:53:03

用半角公式和倍角公式，倒是可以得到关于cos(2a)和sin(2a)的二元一次方程组。
2a就是真正的旋转角度，解出来就知道转了多少度鸟。

$cos(2\alpha)x - x - 2sin(2\alpha)y = 2x^{\'}$
$cos(2\alpha)y - y + 2sin(2\alpha)x = 2y^{\'}$

但是也需要分情况讨论：在x等于0的情况下，在y等于0的情况下，以及x和y都不等于0的情况下。

顺道说，xy是不能同时都为0的，这很显然对吧=v=

juyan · 发表于 2012-8-5 12:39:53

老F辛苦了，多谢指点，四元数我现在还没搞太懂，赶紧去补补，再询问下，用四元数运算确实可以不用分情况讨论吗？

FantasyDR · 发表于 2012-8-5 19:21:02

解出cos和sin之后角度就确定了，范围是-180~180。旋转方式是右手系，拇指从外穿向纸面表示z轴。
应该不用分情况讨论，除了解方程的时候。

不确定是不是对的，但很好奇为啥算这个？大部分情况应该是已知转轴和角度，求旋转后的点吧= =b
我其实没看明白你的题目……我是假设A绕原点旋转2a度后是B点来计算的。

kar98 · 发表于 2012-8-8 20:43:38

高考数学29分的飘过............

红色激情 · 发表于 2012-8-8 21:43:11

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dragon_ · 发表于 2012-8-14 14:25:27

原帖由 红色激情 于 2012-8-8 21:43 发表
151分的飘过。

忘了多少分的飘过

Still4 · 发表于 2012-8-30 15:40:24

发挥失常133路过

唔，极坐标系应该可以解决

ioagentes · 发表于 2012-9-2 20:23:34

好多年了。。。

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